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CDI.tm
<TeXmacs|2.1.2>
<style|<tuple|article|french>>
<\body>
<doc-data|<\doc-title>
Résumé du livre:
Calcul différentiel et intégral.
1 Fonctions réelles d'une variable réelle
</doc-title>|<doc-author|<author-data|<\author-name>
sam
</author-name>>>>
<\with|par-line-sep|0fn>
<section|Corps des nombres réels>
\;
</with>
<\definition>
Corps des nombres réels \V 1.1.3
</definition>
Le corps des nombres réels noté <math|\<bbb-R\>>, est un ensemble muni de 2
applications <math|<around*|(|x,y|)>\<rightarrow\>x+y<rsub|>> et
<math|<around*|(|x,y|)>\<rightarrow\>x*y> de
<math|\<bbb-R\>\<times\>\<bbb-R\>\<rightarrow\>\<bbb-R\>>, d'une relation
d'ordre <math|x\<leqslant\>y> entre ses éléments et satisfaisant les 3
axiomes suivants:
<\itemize>
<item>Axiome 1. <math|\<bbb-R\>> est un corps
<math|x+<around*|(|y+z|)>=<around*|(|x+y|)>+z
<application-space|1em>\<forall\>x,y,z\<in\>\<bbb-R\>>
<math|x+y=y+x<space|1em>\<forall\>x,y\<in\>\<bbb-R\>>
<math|\<exists\>0\<in\>\<bbb-R\><space|1em><mid|\|><space|1em>0+x=x<space|1em>\<forall\>x\<in\>\<bbb-R\>>
<math|\<forall\>x\<in\>\<bbb-R\><space|1em>
\<exists\>-x\<in\>\<bbb-R\><space|1em><mid|\|><space|1em>x+<around*|(|-x|)>=0<text|>>
<math|x*<around*|(|y*z|)>=<around*|(|x*y|)>*z
<application-space|1em>\<forall\>x,y,z\<in\>\<bbb-R\>>
<math|x*y=y*x<space|1em>\<forall\>x,y\<in\>\<bbb-R\>>
<math|\<exists\>1\<in\>\<bbb-R\><space|1em>avec<space|1em>1\<neq\>0<space|1em><mid|\|><space|1em>1*x=x<space|1em>\<forall\>x\<in\>\<bbb-R\>>
<item>Axiome 2. <math|\<bbb-R\> est un corps ordonné>
<math|x\<leqslant\>y> et <math|y\<leqslant\>z><space|1em><math|\<Rightarrow\>><space|1em><math|x\<leqslant\>z>
<math|x\<leqslant\>y> et <math|y\<leqslant\>x><space|1em><math|\<Rightarrow\>><space|1em><math|x=y>
<math|x\<leqslant\>y> ou bien <math|y\<leqslant\>x><space|1em><math|\<forall\>x,y\<in\>\<bbb-R\>>
<math|x\<leqslant\>y> et <math|y\<leqslant\>z><space|1em><math|\<Rightarrow\>><space|1em><math|x+z\<leqslant\>y+z><space|1em><math|\<forall\>z\<in\>\<bbb-R\>>
<math|0\<leqslant\>x> et <math|0\<leqslant\>y><space|1em><math|\<Rightarrow\>><space|1em><math|0\<leqslant\>x*y>
<item>Axiome 3.
<math|\<forall\>S\<subset\><around*|{|x\<in\>\<bbb-R\> <mid|\|>
x\<gtr\>0|}>,S\<neq\>\<varnothing\>,\<exists\>a\<in\>\<bbb-R\><rsup|+>><space|1em><math|<mid|\|>><space|1em><math|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a\<leqslant\>x<space|1em>\<forall\>x\<in\>S>>|<row|<cell|\<forall\>\<varepsilon\>\<gtr\>0<space|1em>\<exists\>x<rsub|\<varepsilon\>>\<in\>S<space|1em><mid|\|><space|1em>x<rsub|\<varepsilon\>>-a\<less\>\<varepsilon\>>>>>>>
</itemize>
<\definition>
Sous-ensemble borné de <math|\<bbb-R\>> \V 1.2.1
</definition>
Soit un sous-ensemble non vide <math|S\<subset\>\<bbb-R\>>. Un nombres réel
<math|a\<in\>\<bbb-R\>> est un <with|font-series|bold|minorant> de <math|S>
si <math|a\<leqslant\>x,\<forall\>x\<in\>S.> Un réel
<math|b\<in\>\<bbb-R\>> est un <with|font-series|bold|majorant> de <math|S>
si <math|x\<leqslant\>b,\<forall\>x\<in\>S.> <math|S> est dit
<strong|minoré>/<with|font-series|bold|majoré> si il admnet un
majorant/minorant.<cite|author:douchet>
<\bibliography|bib|tm-plain|BibTeX>
<\bib-list|0>
\;
</bib-list>
</bibliography>
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<associate|page-medium|paper>
</collection>
</initial>
<\references>
<\collection>
<associate|auto-1|<tuple|1|1>>
<associate|auto-2|<tuple|2|1>>
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</references>
<\auxiliary>
<\collection>
<\associate|bib>
author:douchet
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<\associate|toc>
<vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|1<space|2spc>Corps
des nombres réels> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
<no-break><pageref|auto-1><vspace|0.5fn>
<vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|Bibliographie>
<datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
<no-break><pageref|auto-2><vspace|0.5fn>
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</auxiliary>
BibTeX.bib
@book{alma991006010909705502,
author = {Douchet, Jacques},
address = {Lausanne},
isbn = {2880740266},
keywords = {Calcul différentiel},
language = {fre},
publisher = {Presses polytechniques romandes},
series = {Collection mathématiques},
title = {Calcul différentiel et intégral},
year = {1983},
}
